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ラゲール・ガウスモード

このモードは円筒座標系（ｒ、θ、ｚ）において、ｚ軸方向に伝搬する光ビームをスカラー場で



で表す。関数ｆはｚに関して穏やかに変化すると仮定すると、ヘルムホルツ方程式は、



のようにかける。ｚ軸から離れると指数関数的に減衰する近軸解、



を考えて、ヘルムホルツ方程式に代入すると、



に分けられる。第一式においてρ＝αｒ＾２の変数変換をすると、



これらの式とラゲールの陪微分方程式と比較すると、



動径関数はラゲールの多項式Lmnを用いて



で与えられる。第二式、第四式に関しては以下のようにすぐに解くことができ、第四式を第三式に代入して解くと、

　　　　　　　　　　

となる。

以上より、円筒座標系における光ビームの固有モードであるラゲールガウスビームの複素振幅は、



が得られる。ラゲールガウスビームの強度分布は、



となる。以下にいくつかの伝搬モードに関して描写する。